Здравствуйте!
Согласно ст. 264 ГПК РФ суд устанавливает факты, от которых зависит возникновение, изменение, прекращение личных или имущественных прав граждан, организаций.
Суд рассматривает дела об установлении родственных отношений.
Обратитесь в районный суд с приложением всех документов (вплоть до писем личного характера), подтверждающих родство и подтверждением того, что в ЗАГС Вы обращались, но архивы не сохранились.
Стоит попросить в ЗАГСе справку о невозможности предоставления записей из архива, чтобы приложить к заявлению в суд.
Это не исковое производство, поэтому не исковое заявление, а просто заявление.